در میان پنج اصل موضوع اقلیدس، اصل پنجم، یا اصل توازی، موجب زحمت فکری بود؛ نه چندان ساده بود که بتوان اصل بودنش را بی‌نگرانی پذیرفت و نه هم قابل اثبات بود. از همان آغاز کسانی دچار دودلی شدند و چه بسیار وقت برای اثبات آن یا قرار دادن اصلی به جای آن صرف شد. این کوشش‌ها هرچند به نتیجهٔ قطعی نرسیدند راه را برای رسیدن به نتیجهٔ مهم‌تری گشودند. در قرن نوزدهم سه دانشمند در سه کشور، گاوس در آلمان، بویئی در مجارستان، و لباچفسکی در روسیه تقریباً همزمان به کشف، یا بهتر بگوییم به ابداع هندسه‌هایی دست یافتند که گاوس بر آن‌ها نام هندسهٔ نااقلیدسی نهاد.‏
هدف این کتاب آشنا ساختن خواننده است با اصول هندسهٔ نااقلیدسی لباچفسکی. لباچفسکی ریاضیدان نامی روس متفکری برجسته بود که جهان یکی از بزرگترین اکتشاف‌های ریاضی، یعنی ساختن یک دستگاه ابتکاری هندسی متمایز از هندسهٔ اقلیدسی، را به او مدیون است.‏
در بخش ۱ این کتاب ترجمهٔ احوال کوتاهی از لباچفسکی آمده است، بخش ۲ به این مسئله می‌پردازد که مفهوم‌های اساسی هندسه چگونه نشأت کردند و گسترش یافتند، در بخش ۳ با تبدیلی به نام انعکاس، که وقوف بر آن برای درک هندسهٔ لباچفسکی لازم است آشنا می‌شویم، بخش‌های دیگر کتاب، پاره‌ای از ویژگی‌های هندسهٔ لباچفسکی را مورد بررسی قرار می‌دهد.‏